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道古桥与《数学九章》

2012-6-27 14:07| 发布者: 秦氏| 查看: 2538| 评论: 0|原作者: 蔡天新|来自: 南方人物周刊

摘要: 南京北极阁气象博物馆中的秦九韶雕像。 美国科学史家萨顿认为,秦九韶是“他那个民族,他那个时代最伟大的数学家之一”,但他也是备受时代忽视的天才,其传世著作传抄了六百年才印刷出版。 杭州市西湖区西溪路(浙 ...

南京北极阁气象博物馆中的秦九韶雕像。
美国科学史家萨顿认为,秦九韶是“他那个民族,他那个时代最伟大的数学家之一”,但他也是备受时代忽视的天才,其传世著作传抄了六百年才印刷出版。
 
杭州市西湖区西溪路(浙江大学西溪校区与玉泉校区之间,靠近西溪校区)有一座石桥,叫道古桥。始建于南宋嘉熙年间(1237-1241),初名西溪桥。南宋咸淳初年《临安志》有载:“‘西溪桥’,本府试院东,宋代嘉熙年间道古建造”。这个造桥的道古不是别人,正是南宋大数学家秦九韶,道古是他的字。
秦九韶(1202或1208-1261)祖籍山东,出生在四川,其父中过进士,1219年调任首都临安(杭州),全家住在西溪河畔。原来,刚好在九韶出生前一年,临安发生了一场著名的大火,烧了三天三夜,烧掉太庙、三省、六部、御史台等,受灾居民达三万五千多家,部分朝廷命官及家眷便迁居当时属于郊外的西溪河畔,秦家来临安后也住那里。
九韶自幼聪颖好学,兴趣广泛,他的父亲一度出任秘书少监,掌管图书,其下属机构设有太史局,这使他有机会博览群书,学习天文历法、土木工程和数学、诗词等。他在故乡曾为义兵首,有着领兵打仗的才能。1231年考中进士,先后在湖北、安徽、江苏、广东等地为官。1238年,九韶回临安丁父忧(为父奔丧),见河上无桥,两岸人民往来很不便,便亲自设计,再通过朋友从府库得到银两资助,在西溪河上造了这座桥。
桥建好后,原本没有名字,因桥建在西溪河上,习惯上被叫作“西溪桥”。直到元代初年,另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰(1249-1314)来到杭州,才倡议将“西溪桥”更名“道古桥”,以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数学家秦九韶,并亲自将桥名书镌桥头。
道古桥一直存在到新千年之交(笔者在附近居住了19年,历史上有无重建不得而知),因为西溪路扩建改造,原先的桥和溪流才被夷(填)为平地(曾经有过的道古桥居委会也随之消失),并建起高楼大厦,诸如国际商务中心、浙江省国土资源厅和黄龙世纪雅苑,只留一个公交车站名道古桥(据说还有地图上未显示的道古桥路)。
2005年,道古桥附近天目山路南侧西溪支流沿山河上修建了一座人行石桥(在杭大路的马登桥和黄龙路的沿山河桥之间,离开道古桥原址约100米,比原先的长且宽阔)。笔者近日实地勘察,此桥跨河而建,两岸垂柳披挂,风景优美,且闹中取静,但至今尚未命名。故突发联想,建议将其复名为道古桥。
 
秦九韶给出了海伦公式(已知三角形的三条边长求面积)的等价形式。

(《数学九章》/图)
数学大略
1244年,秦九韶任建康府(南京)通判期间,因母丧离任,回浙江湖州守孝三年。正是在湖州守孝期间,秦九韶专心研究数学,完成了二十多万字的巨著《数学九章》(1247),名声大振。加上他在天文历法方面的丰富知识和成就,曾受皇帝(宋理宗赵昀)召见。他在皇帝面前阐述自己的见解,并呈奏稿和“数学大略”(即《数学九章》)。可以说,秦九韶是第一个受皇帝接见的中国数学家。几年以后,河北的李冶也曾三度被忽必烈召见。
《数学九章》分九卷(类),每类九个问题,其中最重要的成果无疑要数第一卷大衍类的“大衍总数术”和第九卷“市易类”的“正负开方术”。“开方正负术”或“秦九韶算法”给出了一般n次代数方程正根的解法,系数可正可负。此类方程求解原本需经n(n+1)/2次乘法和n次加法,秦九韶将其转化为n个一次式的求解,只需n次乘法和n次加法,他并给出了最高10次21个方程的例子。即便在计算机时代的今天,秦九韶算法仍有重要的意义。
“大衍总数术”给出了孙子定理的一般表述。大约在公元四五世纪成书的《孙子算经》里有所谓的“物不知数”问题。即“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何”,“答曰二十三”。换句话说,孙子只是给出了一个特殊例子。而在江苏淮安的民间传说里,这个故事可溯源到公元前二三世纪西汉名将韩信点兵的故事。
话说秦朝末年,楚汉相争。一次,韩信率兵与楚军交战。苦战一场,汉军死伤数百,遂整顿兵马返回大本营。当行至一处山坡,忽报楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬,杀声震天。此时汉军已十分疲惫,韩信令士兵3人一排,结果多出2名;接着令5人一排,结果多出3名;再令士兵7人一排,又多出2名。韩信当即宣布:我军1073名勇士,敌人不足五百。果然士气大振,一举击败了楚军。
用现代数学语言来表述“大衍总数术”就是:设有k个两两互素的大于1的正整数m,其乘积为M,则对任意k个整数a,存在唯一不超过M的正整数x,x被各个m相除所得余数依次为a。秦九韶并给出了求解的过程,为此他发明了“辗转相除法”(欧几里得算法)和“求一术”。后者是指,设a和m是互素的正整数,m大于1,可以求得唯一的正整数x,使得a和x的乘积被m除后余数为1。
遗憾的是,由于古代中国没有素数的概念,且当时的用途并非在理论上,而主要用于解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题,秦九韶对他发现的定理没有给出严格的证明。但对求解型的定理来说,这个并不十分重要。实际上,他还允许模非两两互素,并给出了可靠的计算程序将其化为两两互素的情形。此外,秦九韶还给出了海伦公式(已知三角形的三条边长求面积)的等价形式。
 
《数书九章》里的一幅插图,通过观察角度的调整和正切函数的运用,便可以计算出宝塔塔尖的高度。

(《数学九章》/图)
享誉国外
1801年,数学王子高斯的名著《算术研究》(第2篇第7节)里,也给出了上述结果,但他不知道中国的数学家早已经有这个结论。直到1852年,秦九韶的结果和方法被英国传教士伟烈亚力(与清代数学家李善兰合作译完欧几里得《几何原本》)译介到欧洲,并被迅速从英文转译成德文和法文,引起了广泛的关注。至于何时何人命名了中国剩余定理,仍是个未解之谜,但应不晚于1929年。
严格来讲,孙子定理应称为孙子-秦九韶定理,或秦九韶定理。据先师潘承洞教授分析,西方人之所以称其为中国剩余定理,是因为古代中国数学家注重计算,缺乏理论建树,因而是一种轻视。无论如何,它都可以说是中国人发现的最具世界性影响的定理,是中外任何一本基础数论教科书不可或缺的,同时也被拓广到另一数学分支——抽象代数里面。此外,还被应用到密码学、哥德尔不完全性定理的证明,以及快速傅里叶变换理论等诸多方面。
集合论的创始人、德国大数学家康托尔赞扬秦九韶是“最幸运的天才”,此前法国大数学家拉格朗日也是这样称赞牛顿的。拉格朗日认为,发现万有引力定律只有一次机会。有着“科学史之父”美誉的美国科学史家萨顿则认为,秦九韶是“他那个民族,他那个时代最伟大的数学家之一”。2005年,牛津大学出版社出版了《数学史,从美索不达米亚到现代》,该书内容提要仅提及12位数学家,秦九韶是唯一的中国人。
秦九韶造桥的故事,堪与英国数学家牛顿造桥的故事媲美。现今剑桥大学的皇后学院内,流经的剑河上有一座桥叫数学桥,只因传说原桥设计师是17世纪的数学家牛顿。据称牛顿造桥时没用到一根钉子,后来有好事者悄悄把桥拆下来,发现真是这样,却再也无法安装回去,只好在原址重新造了一座桥,至今仍是一处名胜,可以说是到访剑桥旅客的必游之地。
相比之下,道古桥的故事不仅更为古老(比牛顿早四个世纪),且与两位古代大数学家有关(可惜当年宣传甚少,甚至杭州多数数学工作者都不知道,道古即秦九韶)。如果得以(重新)命名,酌情在桥头设立一块石碑(此建议不久被杭州市政府采纳,并请数学家王元先生题写了桥名),必将为杭州这座历史文化名城增添一处不可多得的人文景观,会吸引更多的青少年热爱数学和科学。
道德污点
必须指出的是,由于秦九韶的学术成就未被同代人认识,加上一些不好的传闻和描述,称其贪赃枉法、生活无度,甚至犯有人命、非复人类,他在晚年后世成了一个有争议的人物。所有宋史和地方志都未为秦九韶列传,他的名字和桥名时隐时现,后裔也下落不明。不仅中文数论教科书里不出现他的名字,中国校园里也只张贴或雕塑祖冲之的像,甚至英国BBC制作的秦九韶专题片也渲染他的道德污点。
经笔者多方求证和讨教,得知有关秦九韶的传闻主要有两个出处,其内容大有互通。福建词人刘克庄《后村先生大全集》中的《缴秦九韶知临江军奏状》(1260)在前,湖州文人周密《癸辛杂识·续集》中的《秦九韶》(共两页,癸辛是杭州的街名)在后,后者曾被《四库全书》列入“小说家之类”流传。
到了清代,学者院元、焦循、陆心源等人相继批驳周密,指其造谣诽谤,始有人为秦九韶列传。而刘克庄生前,即被认为谀词谄语,连章累牍,为人所讥。1842年,《数学九章》由历算名家宋景昌校订后第一次印刷出版,结束了600年的传抄史。之前,其抄本先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。也是在传抄过程中,被明末戏剧家王应遴定名为《数学九章》。从这个意义上,《数学九章》堪与荷马史诗媲美。
需要指出的,贾似道和吴潜是南宋两位结怨的宰相,刘克庄和秦九韶分别与两人过从甚密(吴是湖州人)。或许,秦九韶从吴潜赠送的地基上建起的房子有些奢华,引得落魄文人周密的嫉妒。特别是,周密是湖州本地人而秦九韶是异乡人。这让我想起造纸术的发明人蔡伦,他和秦九韶在科学、技术上的成就在中国古代无人可以匹敌。蔡伦因为发明造纸术被封侯,晚年却在宠爱他的皇太后过世后被政敌毒死。还有法国数学家拉普拉斯,因政治上得宠,也被讽为阿谀奉承的势利小人。
值得一提的是,《数学九章》里有一幅著名的插图,是用来计算图中的宝塔塔尖高度的,通过观察角度的调整和正切函数的运用,便可以求得。这座宝塔与湖州城内的唐代古寺飞英寺里的飞英塔造型相似,此塔内是石塔外是砖木塔,因为塔中有塔而别具一格,属于全国重点文物保护单位。虽然内塔和外塔分别建于唐代和北宋年间,但在12世纪前后遭到破坏,现在的塔重建于13世纪30年代,刚好在秦九韶寓居湖州之前。
最后,我想谈谈秦九韶为《数学九章》所作的自序(他还为每卷各写了一首序诗)。他在开头提到,周朝数学便属“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)之一。学者和官员们,历来重视、崇尚数学。人们因为要认识世界的规律,产生了数学。从大的方面说,数学可以认识自然,理解人生;从小的方面说,数学可以经营事务,分类万物。秦九韶坚信,世间万物都与数学相关。
这也是数学吸引秦九韶的地方,他向学者、能人求教,深入探索数学之精微。“我在青少年时代曾随父亲到过都城临安,有机会访问国家天文台的历算家,向他们学习历算。此外,我还从隐居的学者那里学习数学。”其时,元人军队入侵四川,九韶有时却不得不在战乱中长途跋涉,可是他仍不忘钻研数学。
与此同时,秦九韶也感叹,数学家的地位和作用,而今不被人们所认识,甚至当权人士对此状况也听之任之,这里他主要指的是纯粹数学和暂时无法用到的方法技巧。他认为,数学这门学问遭到鄙视,算学家只被当做工具使用,这就犹如制造乐器的人,仅仅只能拨弄出乐器的声音。“原本我想要把数学提升到哲理(道)的高度,只是实在太难做到了。”由此我们可以推断,这是一位有思想、有品位的人,与传言中的秦九韶似乎难以相符。

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